Matematicos y educadores

¿ Por qué los profesores de

enseñanza básica necesitan

saber matemáticas?

Dr. Solomon Friedberg

Profesor de Matemáticas y Director

Departamento de Mátemáticas

Boston College

Chestnut Hill, MA 0467

friedber@bc.edu

http://www2.bc.edu/~friedber

"Saber Matemáticas"

Las siguientes afirmaciones son ampliamente aceptadas en EEUU:

1)

matemático es un factor crucial en el éxito de los estudiantes.

Por ejemplo, el conocimiento le permite al profesor:

Cuando un profesor enseña matemáticas, su conocimiento

Reconocer los momentos propicios de enseñanza.

Estimular y responder preguntas.

márgenes conocidos, es decir, un razonamiento correcto pero no

estándar.

Reconocer un razonamiento correcto que está fuera de los

 

Dar explicaciones, para que las matemáticas

sean apreciadas como un asunto coherente y

no como un montón de reglas arbitrarias.

 

Reconocer cuáles cosas son importantes y

priorizar. (

Por ejemplo, la importancia de la

suma automática de un solo dígito ,

lo mismo en

la resta, multiplicación y

la división; la ley

distributiva).

 

Fomentar el razonamiento matemático en

equilibrio con los conocimientos técnicos

(

ambos son importantes).

2) El conocimiento matemático necesario para

enseñar bien matemáticas, es un conocimiento

avanzado. Y NO es cierto que quienes entran a

la universidad poseen este conocimiento.

división funciona?¿Por qué al multiplicar

fracciones lo hacemos multiplicando

numeradores y denominadores, pero la suma no

funciona de la misma manera?

3) Este conocimiento no es adquirido en un curso

de Cálculo. Sino que debe ser transmitido en

cursos dedicados especialmente a ello.

4) Este conocimiento se relaciona con didáctica de

las matemáticas, pero no es lo mismo. Aprender

acerca de bloques de base 10, no garantiza un

buen conocimiento acerca del papel que juega

el valor posicional en la matemática de

enseñanza básica, pero ciertamente están

relacionados.

¿Puedes explicar por qué el algoritmo de la

 

Un famoso problema estudiado por Liping Ma es

dar un problema de enunciado (

word problem

cuya respuesta resulte de dividir

)

2

1/2 en 3/8

 

Para responder a esto, hay que entender los

diferentes modelos o

representaciones de la

división. Los profesores en EEUU (

incluso

aquellos con experiencia) tuvieron un

desempeño bastante pobre en esta pregunta.

Ellos no tenían los conocimientos matemáticos

necesarios.

5) El Razonamiento matemático juega un papel

importante en el éxito de la

enseñanza/aprendizaje de las matemáticas. Tal

razonamiento requiere que los futuros

profesores descubran situaciones matemáticas,

por sí mismos.

6) Matemáticos, educadores matemáticos,

profesores de colegio, deben trabajar unidos

para preparar adecuadamente a los futuros

profesores, en todos los niveles.

El problema en EEUU

Muchos maestros de escuelas primarias en

EEUU son débiles en matemáticas.

Carecen de un conocimiento profundo de

las matemáticas que enseñan.

 

Si profesores de tercero básico leen (

ellos

mismos) al nivel de sexto básico,

entonces habrá que hacer algo al respecto de

manera urgente.

 

Sin embargo, muchos profesores de primaria en

EEUU, no pueden "

hacer" la matemática de

sexto.

¿Cómo enseña matemáticas cuando

Ud. no las entiende a fondo?

Ud. se centra en reglas,

procedimientos y memorización, o en

herramientas manipulables, juegos y

actividades que no se pueden

conectar facilmente con conceptos.

¿Por qué ha pasado esto?

Son pocos los profesores en EEUU a los cuales

se les pidió aprender más matemáticas en sus

programas de preparación.

En contraste, tienen muchos cursos de escritura y

lectura.

Frecuentemente los cursos de matemáticas que

ellos toman no son relevantes respecto a la

tarea de enseñar matemáticas en la escuela

primaria.

Pensamos que la matemática de

Kinder a

sexto es fácil.

La matemática de la

enseñanza básica no es

básica.

Elementary

is not elementary

School Math

Nuestras metas deben

apuntar a:

Proporcionar profesores de

enseñanza básica, con un

profundo conocimiento de la

matemática que enseñan.

Incluir un foco en "explicar por qué"

Afirmaciones deben tener razones

"Es importante que desde la infancia temprana, las

experiencias con las matemáticas, ayuden a entender

que las afirmaciones siempre deben tener razones.

Preguntas como "¿Por qué crees que es cierto?" Y

"¿Alguien cree que la respuesta es diferente, y por qué

piensas así? " ayudan a los estudiantes a ver que las

afirmaciones deben ser apoyadas o refutadas por

pruebas ".

De los principios y normas del NCTM para la Matemáticas escolares

(capítulo 3) (PSSM), 2000.

Algunas Preguntas

 

¿

Por qué "

guardar" en la suma con reserva?

 

¿

Cuál es una forma eficiente de restar 999?

 

Cuando tu multiplicas por 10, ¿

Por qué "

agregas

un cero" al final del número?

 

¿

Por qué no se puede dividir por cero?

Hábitos Matemáticos

Las matemáticas deben enseñarse en todos los

niveles con un foco en la comprensión.

Memorización de hechos numéricos es esencial,

pero es más fácil cuando hay comprensión.

23571-999=?

23571-999 =23571-(1000-1)

=23571-1000+1.

Los Profesores necesitan un

entendimiento sofisticado de la

matemática de enseñanza básica.

Por ejemplo, para calcular 23571-999 como antes,

nosostros usamos

:

 

Resultados de números

 

La ley distributiva [quizás implicitamente]

 

El sistema de valor posicional

Un profesor que no maneja esto fluidamente

no está preparado para enseñar la resta.

Conociendo el edificio y

edificar

fluidez en los cálculos

 

Una vez que los niños han usado el "

atajo"

999=1000-1

en restas (

o

sumas), ellos la

pueden usar en la multiplicación:

Usar la propiedad distributiva y

el hecho que

999 =

1000-1

para encontrar 999 x

213

Por el contrario, el hábito de memorizar reglas y

algoritmos sin entendemiento es

contraproducente. Estos efectos negativos

aparecen particularmente en el segundo ciclo

básico.

Profesores que no entienden bien matemáticas

tipicamente no enseñanan para que los

estudiantes entiendan, ellos no ayudan a sus

estudiantes a razonar matematicamente.

Algunas evidencias de esto:

1) Clases de matemáticas en 7

países: Resultados

de estudio de videos de clases TIMSS 1999

 

Porcentaje de clases de octavo básico (

en una

sub-muestra) que contienen el desarrollo de

racionales: Australia, Suiza: 25%. EEUU: 0%.

2) El estudio comparativo de Liping Ma entre los

profesores de primaria en China y

EEUU: Los

profesores americanos no conocen muchos

tópicos y

desaprovechan muchos momentos

cruciales de enseñanza.

¿Cuáles son los cambios que están

ocurriendo en Massachusetts?

Nuevos requisitos de certificación.

Nuevos cursos a nivel universitario.

¿Cuáles Cursos?

1.

Números y operaciones ("aritmética")

2.

Estadística.

Geometría, Medida, Probabilidad y

3.

profesores")

Patrones, Funciones y Álgebra ("álgebra para

Números y

Operaciones

 

Valor Posicional

 

Definiciones de las 4

operaciones y

modelos para explicarlas.

 

Resolución de Problemas.

 

Desarrollo de algoritmos, ¿

Por qué funcionan?, Variaciones de

ellos.

 

Teoría básica de números –

primos, divisibilidad, mcm,MCD

 

Fracciones

 

Razones, Porcentajes, tasas

 

Números negativos

 

Decimales

Este es un curso fundamental.

Aritmética es fundamental para el

resto de las matemáticas y en gran

parte de las ciencias, de la misma

manera que leer es fundamental para

la educación.

Metas del Curso

 

Presentar la aritmética como un tópico

coherente partiendo de definiciones y

resultados

básicos.

 

Cambiar la perspectiva del "

¿

cómo?" al "

¿

por

qué?"

 

Aritmética no es solo un montón de reglas las

cuales hay que memorizar.

 

Entender tópicos importantes que son pasados

por alto (

rol del valor posicional, ley distributiva).

Ejemplo - Fracciones

sepan como sumar, restar, multiplicar y

dividir fracciones y por qué se hace de ese

modo.

Es importante que los profesores

que las operaciones con fracciones son

solo extensiones de las operaciones con

números naturales, y que esas

operaciones son las que se extienden a

números reales y complejos.

Es también importante que ellos entiendan

Ejemplo - Multiplicación

3 x 5

3 ×12 = (3 × 10) + (3 × 2)

3

10 2

24 × 32

20

30

4

2

120

600 40

8

2 2

( )( ) 2 a b a b a ab b + + = + +

a

b

a

ab

a

b

2 ab2 b

Ejemplo de preguntas del examen

final

 

¿

Cuántos millones son 23 billones?

 

Explica por que 9:0

no está definido.

 

Usa la propiedad distributiva y

el hecho

que 2000 =

2000-2

para encontrar 1998 x

213. ¿

Cuál otra propiedad de números y

operaciones usas en ese cálculo?

 

Haga un problema corto para ilustrar la

división 15 ÷

¾

 

Si un auto recorre 4/5

km in 2/3

minutos,

cuál es su rapidez en

a. kms por minuto

b.

kms por hora.

 

Para multiplicar 2.37 x

1.256 nosotros

primero multiplicamos 237 x

1256. Luego

contamos 5

puestos desde la derecha e

insertamos una coma. Explica por qué

esto es correcto. (

Por favor no diga que

así es la regla!)

 

Explica por qué el producto de dos

negativos es un número positivo.

 

Explica el criterio de "

divisibilidad por 3", y

por qué funciona.

Ejemplo: Proyecto Especial de

asignación de tareas para mi curso

1

los capítulos del 1 al 4 del libro de Liping Ma

"Knowing and Teaching Elementary

Mathematics: Teachers' Understanding of

Fundamental Mathematics in China and the

United States."

) Escriba un resumen de una página de uno de

2)

actividades multi-pasos que traten algún tópico del

curriculum de básica en el área de "Números y

operaciones" y que sean adecuados para el uso en la

sala de clases. Algunos otros ejemplos de temas

apropiados son la comprensión de valor posicional,

multiplicación de números de varias cifras y la

multiplicación de fracciones. Hay muchos otros. Sus

prácticas deben construir tanto habilidad algorítmica y

comprensión del tema que nos ocupa, y debe basarse

en su propia comprensión profunda del tema. Por lo

menos un ejercicio debería incluir un aspecto de la

matemática o la exploración de un problema que

requiere que los estudiantes amplíen su comprensión

Diseña una serie de 5 problemas "multi-partes" o.

3)

como la serie de problemas de la parte

(2) construye conocimiento matemático

en los estudiantes y como tu lo

descubres desde tu propio conocimiento

pedagógico.

Explica en un máximo de una página,

Para más información de mi curso:

www2.bc.edu/~friedber/mt190

Geometría y

Medida

 

Atributos de figuras geométricas.

 

Propiedades de líneas y

ángulos

 

Semejanza y congruencia

 

Construcciones geométricas

 

Demostraciones básicas/geometría deductiva

 

Análisis de la dimensión.

 

Desarrollo de fórmulas estándar de área y

volumen

 

Teorema de Pitágoras y

la fórmula de distancia

Probabilidad y Estadisticas

Estadística Descriptiva

Gráfico de datos

Tendencia Central y desviación

Probabilidad básica, definiciones y conceptos

Conteo; Experimentos de varios pasos

Usos errados o abusivos de la estadística.

Patrones, Funciones y Álgebra

Aprender aritmética correcta y conceptualmente

potencia a los estudiantes a aprender álgebra

después. Por ejemplo, factorizar por 5:

5x^2 + 20 x - 10

se refiere a la propiedad distributiva. Multiplicar

polinomios está muy cerca de multiplicar

números.

El concepto de "función" clave en

matemáticas. Pero no siempre son bien

tratadas en el nivel básico. La enseñanza

de los patrones es con frecuencia un

asunto problemático (¿Cuál es el siguiente

término de la secuencia "3,1,4,1,5?") Y

los profesores no saben cuál es el objetivo

de esto.

 

En un curso de primer año universitario,

nosotros queremos que los futuros

profesores reconozcan el álgebra como

una extensión natural de la aritmética.

Esto les ayudará a

preparar estudiantes

para el álgebra.

Identificación de profundo

conocimiento pedagogíco en contenido

Un grupo liderado por Deborah Ball ha

escrito ítems diseñados para testear

"pedagogical content knowledge", y

confirmar que altos puntajes en sus tests

están correlacionados con profesores

exitosos en la enseñanza de las

matemáticas.

Ejemplo de Pregunta

El curso de la Sra. López ha trabajado en

encontrar patrones en una tabla de 10x10 que

contiene los primeros 100 números. Una

estudiante, María, reconoce un interesante

patrón. Ella dice que si dibujas un "signo mas"

(+) como mostramos en la siguiente diapositiva,

la suma vertical es igual a la suma horizontal (es

decir, 22 + 32 + 42 = 31 + 32 + 33).

Regularidad de María

¿

Cuál de las siguientes explicaciones dadas por los

estudiantes muestra una comprensión suficiente

de por qué esto es cierto para todos los signos

mas? (

Marca SI, NO or NO ESTOY SEGURO

para cada una de ellas.)

 

El promedio de los tres números en la vertical es igual al

promedio de los tres números en la horizontal.

 

Ambas partes del signo igual suman 96.

 

No importa donde el "signo mas" esté, ambas partes suman

el triple del número del medio.

 

Los números de la vertical son "

10 menos" y

"

10 más" que

el término del medio.

Comentarios Finales

 

Dictar estos cursos es profesionalmente

satisfactorio.

 

Hay una profundidad sorprendente en la

mátemática de K-8.

 

Enseñar a

los futuros profesores de primaria

puede romper el círculo de fracaso matemático

que vemos día a

día en nuestras aulas.

 

Matemáticos y

educadores en matemáticas son

importantes en esta tarea.

|

Comentarios

Escribe un comentario

¿Quieres usar tu foto? - Inicia tu sesión o Regístrate gratis »
Comentarios de este artículo en RSS

Comentarios recientes

  • No hay comentarios recientes
Cerrar